Приложение на матриците и системи линейни уравнения в икономиката

[Mozo]

Пловдивски университет „Паисий Хилендарски”


Факултет икономически и социални науки

Специалност: Стопанско управление
Учебна дисциплина: Математика /първа част/


РЕФЕРАТ


Тема: Приложение на матриците и
системи линейни уравнения в икономиката



І. Приложение на матрици в икономиката.
В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от елементи, най-често числа. Елементите на матрицата могат да бъдат от произволно поле или пръстен. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба.
Матрицата е квадратна, когато има равен брой редове и стълбове.
В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси образуват главния ѝ диагонал:





Пример 1. Да се решат следните системи линейни уравнения.



Решение:
По метода на Гаус-Жордан. Съставяме разширената матрица и извършваме последователно елементарни преобразования  
         

В този случай единственото решение на системата се получава на мястото на стълба на свободните коефициенти, т.е.
          
.


Пример 2

За производството на три вида детски играчки К1, К2 и К3 от номенклатурата на Амек тойс се използват три вида памукови суровини С1, С2 и С3. Известно е, че в производството трябва да бъдат вложени изцяло наличните количества 65, 50 и 50 тона от тези суровини.

Производственият процес се характеризира със следната таблица:

К1
К2
К3
С1
1
3
1
С2
-
2
2
С3
1
3
-


Да се намерят:
Количествата от съответния вид играчки, които могат да се произведат с наличните памукови суровини.

Решение:
Елементите на таблицата могат да се запишат като матрица:
А = 131022130
Елементът aij от таблицата отразява количеството суровина Сi, което се влага в производството на единица количество/бройка играчки Кj.
Наличните количества памукови суровини ще разгледаме като матрица-стълб:
В = 655050
Търсените бройки играчки ще представим като елементи на неизвестната матрица Х:
Х = х1х2х3
За решаване стигаме до уравнението:
131022130. х1х2х3=655050
Това е матрично уравнение от І вид. Следователно:
Х = 201015
Броя на играчките, които гарантират пълното оползотворяване на наличните памукови суровини, са:

• от вид К1 – 20 тона
• от вид К2 – 10 тона
• от вид К3 – 15 тона

ІІ. Приложение на система линейни уравнения в икономиката.

Система линейни уравнения е набор от алгебрични уравнения от първа степен, включващи едни и същи променливи. Система от m линейни уравнения с n неизвестни се представя във формата:

Василий Василевич Леонтиев – великият руски икономист

• През тридесетте години на двадесети век руският икономист Василий Василевич Леонтиев започва изследването на междуотрасловата структура на американската икономика. Той създава математическа теория за междуотраслов баланс, като описва връзките между икономическите отрасли чрез система линейни уравнения. Леонтиев изследва икономическия ръст и взаимоотношенията между развитите и развиващите се страни, създавайки модел на световната икономика.


Пример 1

Фирма за изкупуване и продаване на зеле на 28.09 изкупила от производителите зеле за 300 лв. Успяла да продаде 95% от зелето на цена с 0,30 лв. по-висока от изкупната, покрила разходите си от 100 лв. и реализирала печалба от 56 лв.

Целият материал: