Пищови по висша математика І част 2011 година

[Mozo]

.ДЕТЕРМИНАНТИ.
Свойства.Адюнг.кол-ва.Правило на Сарус
Определение.
Стойност, която съпоставяме по определено правило на квадратна таблица от числа (букви,изрази), се нарича детерминанта. Детерминанта от n-ти ред се нарича квадратна таблица от числа, която се състои от n реда и n стълба. Броят на редовете (стълбовете) в квадратната таблица определя реда на детерминантата.
D=
Детерминанта от втори ред, съответстваща на квадратната матрица от втори ред:
Детерминанта от трети ред, съответстваща на квадратната матрица от трети ред А3, и се означава

Адюнгирано количество Аik на елемента аik oт D се определя чрез формулата
Аij = (-1)i+k Dij
Правило на Сарус. преписваме първия и втория стълб вдясно от детерминантата и образуваме произведенията на диагоналните елементи и на успоредните на тях тройки (тези произведения вземаме със знак плюс) и произведения на обратните диагонали (тези произведения вземаме със знак минус).
Правило на триъгълниците По това правило детерминанта от трети ред се пресмята, като се образуват произведенията на следните тройки елементи: от главния диагонал и от тези, които определят триъгълници с върхове, лежащи в различни редове и стълбове и имащи страна, успоредна на главния диагонал (тези произведения вземаме със знак плюс). По същия начин образуваме и произведенията, които вземаме със знак минус, работейки с втория диагонал и триъгълниците от указания вид, имащи страна успоредна на този диагонал:
Св/ва на детерминатите
1.Редовете и стълбовете на детерминантата са еквивалентни;
2.Детерминантата променя знака си при смяна на местата на два реда (стълба);
3.Детерминанта с нулев ред (стълб) е равна на нула;
4.Детерминанта с два еднакви или пропорционални реда (стълба) е равна на нула;
5.Може да се изнася общ множител от даден ред или стълб;
6.Ако всички елементи на един ред умножим с едно и също число, то и детерминантата се умножава с това число.
7.Ако в една детерминанта всичките елементи под (над) главния диагонал са равни на нула, то тя е равна на произведението от диагоналните си елементи.

2.МАТРИЦИ-видове, действия.Обратна матрица
I.Определение.
Правоъгълна таблица от числа, разположени в m редa и n стълба.
II.Видове: матриците биват: правоъгълна, квадратна, триъгълна, диагонална, скаларна, единична, нулева и симетрична.
Матрицата се нарича правоъгълна, ако m ≠ n. Ако m = n то тя е квадратна. Квадратна матрица, на която всички елементи под (над) главния диагонал са нули, се нарича горно (съответно долно) триъгълна. Квадратна матрица, която е едновременно горно и долно триъгълна, се нарича диагонална. Ако всички диагонални елементи на една диагонална матрица са равни, тя се нарича скаларна. Скаларна матрица с единици по главния диагонал се нарича единична. Матрица, всички елементи на която са нули, се нарича нулева. Квадратна матрица, на която aij=аji за всяко ij се нарича симетрична.
III.Действия с матрици:
Равенство- ако са еднотипни (т.е. имат еднакъв брой редове и еднакъв брой стълбове) и са равни елементите на двете матрици, стоящи на еднакви места в тях.
Сбор- само за еднотипни матрици:
Аm x n + B x n = C m x n ;
с ij=aij+bij за всяко i и всяко j.
Тъй като събирането на две матрици се свежда до събиране на съответните им елементи, то ще бъде комутативно и асоциативно;
Свойства на сбора: А+В=В+А;
А+0=А;
А+(В+С)=(А+В)+С;
А+(-А)=0.
Умножение на матрица с число- ако
А m x n -матрица, а λ е число, то λА е матрицата С, еднотипна с А, чиито елементи са сij=λaij , i=1,2….m и j=1,2 ….n
Умножение на 2 матрици:
Произведение на матрица А с матрица B = матрица C, която се получава от умнож. на елементите на i-тия ред на матрицата A със съотв. елементи на s-тия ред на матрицата B и получените произведения се съберат.
Свойства:
(A.B).C=A.(B.C);
A(B+C)=A.B+A.C
(A+B).C=A.С+В.C
(А.В)Т=ВТ.АТ
Транспортиране на матрица
Смяна на редове със стълбове.
Свойства:
(АТ)Т=А; (A+B)Т=AТ+BТ;
(λA) Т= λAТ; (A.B) Т=BТ.AТ.
IV.Детерминанта на матрица
Ако А е квадратна матрица, детерминантата съставена от нейните елементи се нарича детерминанта на матрицата А и се бележи с det(A) или │А│.

ОБРАТНА МАТРИЦА И РАНГ НА МАТРИЦА
I.Определение за обратна матрица.
Ако А е квадратна матрица от тип nxm и тя е неособена, т.е. detA≠0, тогава съществува матрица от тип nxm наричана обратна на А и се означава с А-1 такава че:
А.А-1 = А-1.А=I (единична матрица)

Свойства на обратната матрица:
А.А-1=I=А-1.А
(А-1)-1=А
(Аm)-1=(А-1)m
(A.B) -1=В-1.А-1
II.Определение за ранг на матрица.
Рангът на матрица е равен на ранга на векторите, образувани от редовете или от стълбовете й. Рангът на една правоъгълна матрица може да бъде най-много равен на по-малкото от двете числа: брой на редове и брой на стълбове. Рангът на една матрица е равен на ранга на еквивалентната й стъпаловидна матрица.
Намирането на ранга на дадена матрица става като редовете и се подлагат на елементарни преобразувания докато се получи стъпаловидна матрица (матрица, в която всеки неин ред първият ненулев елемент стои по-надясно от първият ненулев елемент на предходният ред). Тогава рангът на изследваната матрица е равен на броя на редовете на получената стъпаловидна матрица Елементарни преубразования, които не променят ранга:

Целият материал: